闵氏空间和洛伦兹变换

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作者：yubr

编辑：Trader Joe's

四维闵可夫斯基时空

我们在本科阶段接触的经典力学和经典电动力学里的物理规律，都是以三维矢量方程的形式描述的。

无论是牛顿运动定律，还是麦克斯韦方程组，其基本的物理对象都是三维欧式空间的矢量（例如：位置矢量，电场，磁场等等）。

我们通过求解动力学方程，来研究它们随着时间坐标的演化和随着空间坐标的分布。

这种描述貌似没有什么问题，既然如此，我们为什么还要引入四维时空呢？

爱因斯坦在1905年建立的狭义相对论最深远的意义，就在于揭示了时间和空间的内在联系：时间和空间并不像牛顿力学所宣称的那样是独立的、正交的、没有联系的；而是紧密相关的、可以互相转化的。

牛顿力学描述的时空对象是三维欧氏空间和一维时间的直和，它们之间通过所谓的伽利略变换（伽利略变换是三维欧氏群 E3 群的群元，包含了三维平移，三维转动，三维反射等保持三维空间距离不变的变换）来联系，伽利略变换中，时间和空间是独立变化的。

而狭义相对论所描述的时空是 3+1 维的闵氏时空，它们之间通过洛伦兹变换（洛伦兹变换是洛伦兹群的群元，包含了保持四维闵氏时空距离不变的变换: 三维转动，三维反射和boost变换）来联系，洛伦兹变换中，时间和空间是相互耦合的。

无数的高能物理实验告诉我们，我们的时空确实是通过洛伦兹变换而不是通过伽利略变换来联系的，这意味着时间和空间是互相关联而非互相独立的——牛顿错了，爱因斯坦对了。

下面我们先介绍洛伦兹变换。

洛伦兹变换

为了简单起见，我们只介绍最简单的洛伦兹boost变换。

假设有两个坐标系和

S':(t',x',y',z')

，其中系相对系沿着轴以速度运动，并且在运动过程中始终保持轴与轴平行，轴与轴平行，轴与轴重合。

我们把初始条件设为时两个系的原点重合。现在我们要问的是：对于同一个事件， 和 的定量关系是什么？

我们知道任何理论都有基本的假设。牛顿力学的时空背景是三维欧氏空间，在这个空间中，一切的坐标变换必须满足三维空间距离不变：

从这个基本假设出发，我们可以导出伽利略变换，也就是牛顿力学中，联系和的定量关系：

同理，狭义相对论的时空背景是四维闵氏时空，在这个时空中，一切坐标变换必须满足 四维时空距离不变：

其中

c

为光速。从这个基本假设出发，我们就可以导出洛伦兹变换（推导留作练习）：

为了简化记号，我们定义，，上述洛伦兹变换可以写为

或者用矩阵的语言，可以写为

我们将矩阵

称为沿

x

轴boost的洛伦兹变换矩阵，记作。

标量，矢量和张量

从上面的洛伦兹变换的表达式可以看到，这四个数在洛伦兹变换下并不是孤立的，而是一个整体，它们一起按照矩阵进行变换，所以我们把它们放到一起组成一个矢量（这称为4-矢量）：

其中约定

x^0=ct，x^1=x，x^2=y，x^3=z

则上述洛伦兹变换可以记为

（注意这里我们采用了爱因斯坦求和约定：重复指标求和，写完整就是）

其中和都可以取0，1，2，3。

上式可以用来定义所有的4-矢量：

任意四个数 的集合，如果在洛伦兹变换 下它们满足

则称这四个数组成了一个4-矢量。我们把指标在上面的矢量称为逆变矢量。

我们可以通过度规来将矢量的指标进行升降。闵氏时空的度规
逆度规

如果为逆变矢量，则我们称为协变矢量，例如，坐标矢量，则

利用协变矢量和逆变矢量的内积，我们可以把四维时空间隔写为

因为我们知道四维时空间隔必须是洛伦兹变换下的不变量，所以必须在洛伦兹变换下是不变的，也就是必须满足

但是是逆变矢量，它在洛伦兹变换下的行为我们已经知道，将这个代入上式，我们就得到了洛伦兹变换矩阵必须满足的关系式

上式也是洛伦兹变换最一般最严格的数学定义式

利用上式容易证明，任何一个逆变矢量和协变矢量相乘得到的结果都是洛伦兹变换下的不变量，即，这种逆变矢量和协变矢量的相乘称为缩并。

我们把这种在洛伦兹变换下不变的量称为标量，它是逆变矢量和协变矢量的缩并。

上述关于标量和矢量的定义很容易推广到任意阶张量。我们看到标量没有指标，它有个分量，它可以视为零阶张量，在洛伦兹变换下不变；矢量有一个指标，它有个分量，它可以视为一阶张量，它在洛伦兹变换下乘上一个洛伦兹变换矩阵；类似的，我们可以定义 n 阶逆变张量：

n 阶逆变张量是这样 个数的集合，这 个数在洛伦兹变换下满足

为了不那么抽象，我们举一个具体的例子：二阶逆变张量 ( )就是这样 16 个数的集合（，共 16 个分量），这 16 个数在洛伦兹变换下满足

上面这个式子一共包含了16个等式，我们取其中一个加以说明。设这个二阶张量的00分量在一个参考系中的值为，在另一个参考系中的值为，那么新参考系中的00分量的值由旧坐标系中的各个分量按照这样的线性组合构成：

T^{\prime 00}=\sum_{\rho=0}^3\sum_{\sigma=0}^3\Lambda^0_{\rho}\Lambda^0_{\sigma}T^{\rho \sigma}

其中是联系两个参考系的洛伦兹变换矩阵

利用度规升降，我们可以从任意阶的逆变张量（指标都在上面的）出发定义任意阶的协变张量（指标都在下面的）和混合张量（指标有上有下的）。

例如，二阶协变张量定义为

(1,1) 阶混合张量定义为

以上我们介绍了四维闵氏时空中的洛伦兹变换和标量，矢量，张量的定义，这些都是四维语言的基础。

一个关于闵氏时空的更加友好通俗的介绍可以参看闵氏几何是什么？它是如何统一时空并极大简化狭义相对论的？

用四维语言描述的物理量和物理定律，相比我们熟悉的三维形式，要简洁优美得多，并且用四维语言我们一眼就能看出物理量的变换性质和体系的对称性

用术语来说：四维形式是“协变的”，三维形式是“非协变的”。

这一点其实很好理解，因为实验已经证明了我们所处的世界是 3+1 维的时空，时间维度和空间维度是耦合在一起的而非割裂的，那么我们用把时空一并处理的四维语言来描写世界当然要比用人为地把时间割裂出去的三维语言自然得多。

预告：

在下一章中，我们将用上面介绍的四维语言描写狭义相对论的动力学——我们将把熟悉的三维力学中的那些物理量（如：位置矢量，速度，加速度，动量，力，等等）和物理定律（比如牛顿第二定律）全部推广到四维形式。